Alla ricerca del numero perfetto

Come quasi sempre nella storia della matematica, in principio furono i Greci: essi notarono che esiste una certa classe di numeri, per la verità molto esigua, i cui elementi possono essere scritti come somma dei propri divisori. Ad esempio, il numero 6 o il 28:

6 = 1 + 2 + 3;

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Li chiamarono numeri perfetti. Essi sono numeri assai sfuggenti e veramente rari: per quasi duemila anni si conobbero solo undici numeri perfetti; dal 1952 ad oggi invece, grazie all’apporto dei computer, abbiamo sfiorato la cinquantina. Ma perché ci si è messo così tanto a scovarli?

Partiamo dal principio: Euclide (III sec. a. C.) dimostrò il primo interessante risultato riguardante i numeri perfetti, ovvero che ogni numero esprimibile nella forma

2^{{n-1}}\cdot (2^{n}-1)

è perfetto, se 2^{n}-1 è primo. Questo è già un ottimo risultato, perché ci dice “ogni numero così costruito ha tale proprietà”. Euclide non dimostrò però il viceversa. In altre parole, potrebbe darsi che esistano numeri perfetti che non siano riducibili alla formula sopra citata. E questo per i matematici è un bel problema, giacché rende impossibile rispondere a una domanda ben più ampia: quanti sono questi numeri? E inoltre, la mancanza di questo “viceversa” rende impossibile generare numeri perfetti a piacimento.

Guardando la formula, potrete notare che la quantità 2n cresce molto molto rapidamente all’aumentare di n. Potete quindi immaginare l’infame lavoro dei matematici dei secoli passati

quando bisognava verificare la primalità di 2^{n}-1 per numeri grandi: uno studioso inglese sembra abbia impiegato un anno intero per eseguire il lavoro su una rudimentale calcolatrice e un altro anno per controllare il risultato. Questo spiega perché, dopo i primi quattro numeri perfetti noti nel I sec. d. C. (6, 28, 496 e 8128), sia stato necessario aspettare più di 1300 anni affinché si scoprisse il successivo, ossia 33 550 336.

Si ebbero poi sporadici progressi durante il Sei e il Settecento, ad opera di matematici di tutto rispetto, come Marin Mersenne ed il celeberrimo Eulero. In ogni caso all’alba degli anni Cinquanta del Novecento, si era arrivati a conoscere solo dodici numeri perfetti.

Nel 1952, l’americano M. Robinson, decise di servirsi di uno dei più potenti calcolatori dell’epoca, noto come SWAC, per trovare altri esemplari di questi strani numeri. Tale apparecchio era capace di eseguire una somma 156 000 volte più velocemente di un essere umano: questa cifra oggi ormai non fa più molta scena, ma allora erano prestazioni davvero strabilianti.

I programmatori dell’Istituto per l’Analisi Numerica che collaborarono con Robinson si trovarono di fronte un immane problema: ogni numero con cui SWAC doveva lavorare era talmente grande che da solo occupava più della metà della memoria del calcolatore. Se pensate che l’ultimo numero perfetto a loro noto era composto da 77 cifre, potete capire quale fu la loro difficoltà.

Lo SWAC cominciò a funzionare finalmente la sera del 30 gennaio 1952: prima della mezzanotte, il calcolatore aveva già scovato ben due numeri perfetti! E nei mesi successivi se ne trovarono altri: per l’ultimo di essi, il diciottesimo numero perfetto conosciuto, SWAC impiegò un minuto di calcoli. Ciò corrispondeva a circa un anno di lavoro per un essere umano.

Negli ultimi cinquanta anni la velocità dei computer è cresciuta esponenzialmente, rendendo possibile affinare gli algoritmi e accorciare i tempi di elaborazione per questa ricerca. Secondo la mia fonte (il dato potrebbe però non essere stato aggiornato), a gennaio 2010 il più grande numero perfetto era un mostro di ben 12 978 189 cifre.

Ma al di là della tecnologia per cercare empiricamente tali numeri, quel problematico “viceversa” di Euclide è stato risolto? Ebbene, non ancora. A tutt’oggi, quindi, non si sa quanti numeri perfetti esistano.

P.S.: la foto che vedete all’inizio ritrae proprio il calcolatore SWAC, prima dell’inizio dell’impresa di Robinson.

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Nicolas Campagnoli

Quello che scrive (e pensa troppo). Studente di Lettere classiche, appassionato di matematica e di lingue improbabili, insaziabile lettore, amante degli aperitivi e filosofo da bar: chi avrebbe mai pensato che potesse scrivere per una rivista online?

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