Pentagoni e insospettabili relazioni

I filosofi pitagorici avevano una speciale predilezione per il numero cinque, dal momento che, all’interno del pentagono regolare, potevano costruire la stella a cinque punte che era il simbolo della loro setta. Tuttavia i greci avevano già notato la seguente (e non banale) relazione: a ogni numero a partire da tre è associato un poligono con tanti angoli quante sono le unità. Si parlerà dunque di numeri triangolari, di quadrati, di numeri pentagonali (che sono l’oggetto della nostra storia), eccetera. I numeri pentagonali sono dunque quelli le cui unità possono essere disposte a forma, appunto, di pentagono.

Tuttavia, i matematici più raffinati dei secoli successivi, una volta ricavata la formula generale per generare tutti i numeri pentagonali che si desiderano, smisero di provare interesse per questa categoria di numeri. Prima di proseguire riporto la formula in questione:

1

La relazione significa che, fissato un numero intero n a piacere, posso trovare, con l’espressione a destra, il numero pentagonale associato (ecco cosa indica il 5 che figura come indice). Si noti un aspetto importante: il numero n fissato non deve essere necessariamente positivo ma può essere anche negativo. In questo caso si parla di numeri pentagonali generalizzati.

Elenchiamo quindi a titolo d’esempio qualche numero pentagonale, ottenuto con la formula vista sopra:

2

Bisogna però aspettare fino al XVIII secolo prima che uno dei matematici più prolifici ed eclettici della storia di questa disciplina, Leonhard Euler (in Italia noto come Eulero), scoprisse un’inattesa e sorprendente relazione tra i numeri pentagonali e tutti gli altri naturali. Nel momento della scoperta, egli stava lavorando alla teoria delle partizioni, una teoria algebrica che si occupa di determinare in quanti modi un numero possa essere espresso come somma delle proprie parti. Ecco un esempio chiarificatore:

3

Quindi il numero di partizioni di cinque è sette e si indica come p(5) = 7.

Il problema fondamentale della teoria delle partizioni è che il numero di partizioni non ha alcun rapporto prestabilito con il numero partizionato: l’uno può essere partizionato in un solo modo, due in due modi, tre in tre modi ma dal quattro in avanti le cose sembrano farsi più caotiche. Il numero di partizioni per il quattro è cinque, per il cinque è sette, per il sei è undici, eccetera.

Lo scopo primario di Eulero era quello di trovare una funzione generatrice, ovvero una funzione che, fissato un numero qualsiasi, restituisca il numero delle possibili partizioni. Ed egli riuscì anche a trovarla. Per semplicità e per evitare tecnicismi, con dispiacere non riporterò la formula né il procedimento con cui la ricavò. Per il nostro discorso ci interessa sapere che in parte della sua formula figura un polinomio in questa curiosa veste:

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I puntini di sospensione alla fine stanno a indicare una somma infinita di termini. Comunque, se osservate il polinomio in questione, noterete che gli esponenti sono esattamente i numeri pentagonali che abbiamo elencato sopra.

Sebbene i numeri pentagonali non abbiano un particolare e potente impiego in Teoria dei Numeri, a parte, s’intende, comparire nella formula generatrice di Eulero, da questa storia di dimenticanza e riscoperta, si può tratte una morale importante per chiunque abbia a che fare con la matematica: capita di imbattersi in oggetti o relazioni che al momento possono non apparire utili o accattivanti, ma che poi, come in questo caso, si rivelano essere l’ossatura di relazioni molto più profonde, in grado, talvolta, di dissipare la nebbia attorno alla nostra conoscenza di quel misterioso mondo che sono i numeri.

 

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Nicolas Campagnoli

Quello che scrive (e pensa troppo). Studente di Lettere classiche, appassionato di matematica e di lingue improbabili, insaziabile lettore, amante degli aperitivi e filosofo da bar: chi avrebbe mai pensato che potesse scrivere per una rivista online?

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