Un enigma durato quasi quattro secoli, seconda parte – 11 dicembre

Il mese scorso abbiamo introdotto la storia del numero quattro, mostrando come i quadrati abbiano sempre destato grande interesse tra i matematici antichi, e ci siamo soffermati sulla misteriosa figura e sull’opera di Diofanto. Abbiamo anche detto che essa giunse, fortunosamente, nelle mani di Pierre de Fermat. Da qui riparte la nostra storia.

Costui non fu un matematico di professione, bensì un avvocato: sebbene quindi non sia mai stato più di un dilettante, occupandosi di matematica nel tempo libero e quasi per svago, è ormai annoverato fra le grandi menti di questa disciplina per la sua straordinaria genialità.

Per rimanere in tema con il calendario dell’avvento che ROA propone questo mese, possiamo permetterci di viaggiare momentaneamente con la fantasia e immaginarci il nostro Fermat, davanti al tepore del camino, che ammira estasiato la copia dell’Aritmetica di Diofanto ricevuta a Natale (avrete ormai inteso che ai matematici non serve molto per essere felici). L’anonimo donatore non avrebbe mai potuto immaginare quali grandi scoperte avrebbe generato questo fruttuoso incontro: infatti Fermat non si accontentava certo di risolvere i problemi che Diofanto aveva proposto, indicando una tra tutte le possibili soluzioni, ma forniva anche i procedimenti per trovare tutte le soluzioni esistenti. Questo suo modus operandi gli permise dunque la formulazione di importanti teoremi di validità generale che stabilivano relazioni profonde e, prima di lui, insospettate tra i numeri.

Tuttavia Fermat aveva anche un gran difetto: sebbene informasse amici e colleghi dei propri risultati mediante lettera o li annotasse sul margine del volume, quasi mai esponeva le sue dimostrazioni. Un po’ romanticamente, potremmo pensare egli ritenesse meno interessante ciò che aveva già dimostrato rispetto a quello che ancora cercava di provare. Questa mancanza era però controbilanciata dalla sua integerrima onestà: in tutti quei casi in cui egli annunciò una dimostrazione senza esibirla, essa fu effettivamente scoperta.

Tranne per il problema otto del secondo libro, di cui abbiamo parlato nella prima parte di questo racconto. Come suo solito, Fermat non si accontentò di limitarsi allo studio dei quadrati, ma si domandò se quella legge che valeva per le potenze di due valesse anche per le potenze di grado superiore al secondo o, in altri termini, se esistessero soluzioni intere a equazioni del tipo:

a^{n}+b^{n}=c^{n}, se n > 2.

E qui comincia l’enigma. Fermat, infatti, a questo proposito, lasciò solo la seguente annotazione sul margine del libro: D’altra parte è impossibile separare un cubo in due cubi […] o in generale una qualsiasi altra potenza, eccetto il quadrato, in due potenze con lo stesso esponente. Ho trovato una dimostrazione davvero mirabile di ciò ma il margine non è abbastanza largo da contenerla. Di fatto, Fermat negava l’esistenza di soluzioni intere per l’equazione di sopra.

La sua congettura divenne ben presto famosa come l’ultimo teorema di Fermat e fu nota anche al grande pubblico perché, per secoli, tutti i più eminenti matematici ne intrapresero la dimostrazione, fallendovi oppure riuscendo a provarla solo per casi particolari. Intorno agli anni Ottanta del Novecento ci si era accertati che effettivamente tale equazione non avesse soluzioni intere se n era un numero primo compreso tra 3 e 150 000 (Fermat stesso e Eulero avevano già dimostrato i casi, rispettivamente, n = 4 e n = 3). Tutti questi tentativi suggerirono dunque alla comunità matematica che probabilmente Fermat aveva ragione ma il punto che più infastidiva gli scienziati era la mancanza di una dimostrazione generale.

Soltanto nel 1994, Andrew Wiles, matematico britannico e docente a Princeton, grazie anche alla fondamentale correzione del collega Richard Taylor, annunciò la definitiva dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat, dopo un solitario e silenzioso lavoro durato sette anni. La prova di Wiles consta di oltre quaranta pagine, nelle quali fa uso dei più raffinati e complessi strumenti della matematica contemporanea. Finalmente l’enigma era stato svelato.

Dopo l’iniziale festeggiamento, alcuni studiosi mostrarono tuttavia qualche insoddisfazione: “Mi sarei aspettato una dimostrazione più semplice” sostenne qualcuno. In effetti, alcuni si chiesero se Fermat avesse veramente potuto provare il suo teorema con gli strumenti teorici a sua disposizione, mentre altri sostennero che ci dovette essere stato per forza un errore nella sua dimostrazione.

Come siano andate le cose, ahimè, non sarà mai lecito saperlo. Sta di fatto, però, che una semplice osservazione a margine divenne protagonista di una delle avventure intellettuali più avvincenti della matematica.

Buon Natale!

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Nicolas Campagnoli

Quello che scrive (e pensa troppo). Studente di Lettere classiche, appassionato di matematica e di lingue improbabili, insaziabile lettore, amante degli aperitivi e filosofo da bar: chi avrebbe mai pensato che potesse scrivere per una rivista online?

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