Un enigma durato quasi quattro secoli -prima parte

Il quattro è stato percepito, fin dalle culture più antiche, come un numero assai “concreto”: quattro sono i punti cardinali, quattro gli elementi che costituiscono la materia del mondo, quattro i venti, e l’elenco potrebbe continuare. La caratteristica che, fin dalle origini, ha probabilmente conquistato l’uomo è la splendida simmetria di questo numero: due per due fa quattro, o altrimenti, quattro è 2². Per questo motivo quattro è il primo quadrato perfetto, ovvero uno di quei numeri che possono essere scritti alternativamente come un numero intero elevato alla seconda.

Il termine quadrato, riferito ai numeri, è un retaggio della matematica greca (ma ormai la cosa non ci sorprende più), che indagava i numeri dal punto di vista geometrico: quadrati erano quei numeri le cui unità potevano essere disposte a formare un quadrilatero. Per ora la faccenda rimane abbastanza intuitiva, ma i greci andarono ben oltre.

Notarono che i quadrati hanno diversi legami interessanti con tutti gli altri numeri. A titolo d’esempio potremmo considerare la proprietà per cui ogni quadrato perfetto è la somma dei numeri dispari che lo precedono, come è facile verificare.

1 = 1×1 =1²

1 + 3 = 2×2 = 2²

1 + 3 + 5 = 3×3 = 3²

1 + 3 + 5 + 7 = 4×4 = 4²

1 + 3 + 5 +7 + 9 = 5×5 = 5²

Storicamente, uno dei primi problemi matematici che coinvolse i quadrati fu il celeberrimo teorema di Pitagora, dimostrato dal matematico greco eponimo (o al massimo da qualche suo studente) nel V secolo a.C. Ricordiamone l’enunciato: il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Se chiamiamo con a e b i cateti e con c l’ipotenusa, tale asserzione può essere rappresentata nel modo seguente:

a² + b² = c².

Quel che abbiamo fatto è stato tradurre in termini algebrici un problema geometrico. Tuttavia, questa nuova “veste” stuzzicò la mente dei matematici, che continuarono per secoli a interrogarsi sulle proprietà dei quadrati.

A questo punto della nostra storia dobbiamo introdurre un altro personaggio, di nome Diofanto di Alessandria, matematico del III secolo d.C. che, fra gli altri meriti, ebbe quello di scrivere un’opera, l’Aritmetica, in cui raccolse molti problemi della matematica a lui contemporanea e, laddove non li risolse, li tramandò ai posteri. Di lui non conosciamo praticamente nulla, a parte i problemi che pose; tuttavia, ci è tràdito dall’aneddotica il suo epitaffio, sotto diverse varianti, e trovo interessante riportarlo perché è quasi l’unica fonte di notizie circa la sua vita:

Questo tumulo racchiude Diofanto. Ammira come esso ci chiarisca con la matematica quanto tempo sia vissuto: per un sesto della sua vita fu un giovinetto; poi, dopo un dodicesimo cominciò a vestire le prime pelurie; quindi, dopo un settimo prese moglie e, cinque anni dopo, gli nacque un figlio; purtroppo l’infelice morì precocemente e vide solo la metà della vita del padre; dopo altri quattro anni, infine si spense Diofanto.

A chi apprezza gli indovinelli domando: quanto visse costui?

In ogni caso, noi siamo interessati a un problema specifico, ovvero il numero otto del secondo libro dell’Aritmetica, che recita più o meno così: è sempre possibile dividere un quadrato nella somma di due quadrati? A buon guardare, il problema posto è esattamente quello espresso dallo stesso Pitagora.

L’opera di Diofanto venne conservata dai secoli e fu letta, studiata, commentata e approfondita. Ma colui che ne seppe fare il miglior utilizzo fu un indaffarato avvocato francese del Seicento, Pierre de Fermat: l’incontro tra l’opera di Diofanto e il genio di Fermat avrebbe prodotto una delle congetture più difficili della teoria dei numeri.

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Nicolas Campagnoli

Quello che scrive (e pensa troppo). Studente di Lettere classiche, appassionato di matematica e di lingue improbabili, insaziabile lettore, amante degli aperitivi e filosofo da bar: chi avrebbe mai pensato che potesse scrivere per una rivista online?

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