Sarebbe difficile trovare qualcuno che sia più profondamente appassionato e attratto da qualsiasi cosa di quanto io lo sia dalla teoria dei numeri primi.

H. Hardy

Ormai, nel nostro percorso nel mondo della matematica, abbiamo capito che non esistono numeri poco interessanti. Ma che cos’ha di speciale il numero tre, tema di questo mese?

Orbene, sappiamo tutti che tre è un numero primo: esso è interessante fondamentalmente perché è il primo numero che presenta tutte le caratteristiche dei numeri primi. Infatti, l’uno è un po’ sui generis, essendo l’unità generatrice di tutti i numeri naturali, e il due è sì primo, ma è anche l’unico numero primo pari, se ci fate caso. Infatti tutti i numeri pari hanno due fra i loro divisori  e quindi non possono essere primi. Il tre invece è divisibile solo per se stesso, per uno ed è anche dispari, come tutti gli altri primi.

Avrete capito dai numerosi riferimenti ai numeri primi, anche nei precedenti articoli, che essi sono un argomento di enorme fascino per i matematici ma anche fonte di problemi estremamente complessi.

Nella storia dell’indagine matematica, una delle prime distinzioni tra numeri primi e composti, benché non in questi termini, fu quella tra numeri rettilinei e numeri rettangolari, operata dai greci molto tempo prima degli Elementi di Euclide (circa 300 a.C.). Pensandoci un attimo, tale partizione risulta alquanto ovvia: se prendete due, tre, cinque, sette sassolini, ad esempio, potete disporli solo in linea retta, pena escludere qualche sassolino; se invece prendete quattro, sei, otto, nove sassolini, potrete facilmente disporli in rettangoli.

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Una volta definiti questi strani numeri, i primi, è abbastanza naturale che nella mente di un matematico sorga la domanda cruciale: ma quanti sono i numeri primi? In altri termini, formalmente più accettabili, si potrebbe domandare se l’insieme dei numeri primi sia finito o infinito.Guarda caso, se andate avanti con la lista, vi renderete conto che tutti i numeri rettilinei sono numeri primi, mentre tutti i rettangolari sono quelli che, in termini moderni, si direbbero composti.

Nientemeno che Euclide stesso dimostrò che l’insieme dei numeri primi è infinito, attraverso una dimostrazione che lascia tutt’ora abbastanza attoniti: se da un lato non è affatto articolata o complessa (anzi, ad uno studente potrebbe parere pure “banale”), dall’altra però molti matematici si sono interrogati con rispettosa invidia: “Io sarei stato capace di concepirla se non fosse stata pensata prima?”.

Ateniese di nascita, Euclide insegnò gran parte della sua vita alla Scuola di Alessandria, uno dei più grandi centri di cultura del mondo ellenistico. Dedicò tutta la sua vita ai numeri, non perché fossero utili, ma perché erano semplicemente interessanti: secondo un aneddoto, quando un allievo gli domandava cosa ci avrebbe guadagnato dalla dimostrazione di un certo teorema, Euclide era solito rispondere “date una moneta a quest’uomo dal momento che si aspetta di trarre un guadagno da ciò che apprende”.

Il teorema di Euclide sull’infinità dei numeri primi è uno di quei teoremi esteticamente appaganti per la sua snellezza formale e per la potenza delle sue conclusioni. Pertanto, invito calorosamente gli interessati a leggerne la semplice e concisa dimostrazione: altri grandi matematici proposero dimostrazioni alternative, talora ricorrendo anche a strumenti estremamente avanzati della matematica contemporanea, ma, nell’opinione di chi scrive, quella di Euclide rimane la più bella.

Ci rimane un ultimo fatto da osservare: se provate a stilare un elenco dei numeri primi fino a un numero sufficientemente grande, noterete che essi diventano sempre più radi, ovvero gli intervalli tra un numero primo e il successivo diventano sempre più grandi. È quello che i matematici chiamano, con un nome un po’ spaventoso, il “deserto dei numeri primi”.

Pertanto, ci si potrebbe domandare se esista una legge per determinare la distribuzione dei numeri primi all’interno dei naturali: una sottospecie di “macchina teorica” che generi numeri primi a piacimento. Ecco, la scoperta di questa legge è forse il più importante e famoso problema, tutt’ora aperto, della matematica contemporanea e annoverato fra i sette Millenium Problems. Infatti, allo stato attuale della ricerca, sembrerebbe quasi che i numeri primi si distribuiscano in maniera totalmente casuale, il che, come è facile capire, è lungi dall’essere accettato dai matematici. Purtroppo la questione è assai spinosa e richiederebbe spiegazioni e premesse che vanno ben oltre l’intento di questo articolo. Se siete interessati alla questione, rimando al seguente testo, dall’argomentazione rigorosa e avvincente, perfetto per chi, pur non essendo un matematico, voglia addentrarsi in questo affascinante mistero: Marcus du Sautoy, L’enigma dei numeri primi, Rizzoli 2011.

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