Probabilmente se vi si dicesse che è possibile scrivere due come 10, rimarreste un po’ allibiti. Tuttavia è possibile farlo in quel sistema elegante e semplice che è il sistema binario.

Questo tipo di rappresentazione fu considerato una mera curiosità matematica fino al Novecento, quando, con l’invenzione del calcolatore, si capì che era possibile rappresentare tutti i numeri mediante due soli simboli, 0 e 1, o utilizzando lo stato di un interruttore, ON e OFF.

Comunque si vogliano vedere le cose, i moderni computer ragionano mediante stringhe più o meno lunghe di 0 e 1: il sistema binario è fondamentalmente il loro alfabeto base, come per noi può essere quello latino.

Ma la domanda sorge spontanea: perché le macchine non contano in base dieci come facciamo noi? Ebbene, i computer usano il sistema binario non perché non possano usare quello decimale, ma solo perché, se lo facessero, perderebbero notevolmente in efficienza.

Per comprendere ciò, consideriamo un calcolatore alle prese col numero che per ben settantacinque anni è stato il più grande numero primo conosciuto, che in base dieci si esprime come

170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727.

Invece nel sistema binario (e tra poco scopriremo come si possono rappresentare i numeri in esso), è rappresentato così:

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.

Ovvero come una stringa di centoventisette 1. Nella rappresentazione decimale il calcolatore dovrebbe, per ogni posizione, essere in grado di distinguere dieci simboli diversi, mentre nella rappresentazione binaria gli occorrono solo due simboli: si capirà bene che un sistema in base due appare notevolmente più utile in questo frangente.

Per rappresentare i numeri in binario bisogna tenere presente che il simbolo 1 indica che una certa colonna contiene la rispettiva potenza di due, mentre il simbolo 0 vuol dire che ciò non avviene. Ecco un esempio dove a sinistra troviamo dei numeri espressi in binario e a destra la loro traduzione in base dieci (la simbologia 2^x sta per “2 elevato alla x”):

101 = 2^2 + 0 + 2^0 = 5

1010 = 2^3 + 0 + 2^1 + 0 = 10

1100 = 2^3 + 2^2 + 0 + 0 = 12.

Invece, per fare un esempio più impegnativo, consideriamo il numero di cui dicevamo sopra. Il fatto che sia rappresentato da quell’improbabile stringa di 1 significa semplicemente che esso corrisponde alla somma delle successive potenze di due (centoventisette 1 significano centoventisette potenze di due):

2^126 + 2^125 + 2^124 + … + 2^2 + 2^1 + 2^0.

Se siete così temerari da svolgere il conto avrete conferma del risultato.

In questo modo è possibile rappresentare tutti i numeri mediante allineamenti di 0 e 1 (i più scettici o interessati sappiano che di ciò esiste una dimostrazione formale).

Come molte altre grandi idee della matematica, l’idea che i numeri potessero essere espressi attraverso due sole cifre fu partorita da Leibniz, uno dei più geniali matematici di tutti i tempi. Nella raccolta di biografie I grandi matematici, Eric Temple Bell scrive a proposito di Leibniz: “La concentrazione di uno spirito di altissima capacità sui due vasti campi opposti del pensiero matematico, il continuo e il discreto, altrimenti detti l’analitico e il combinatorio, non ha avuto antecedenti e susseguenti prima e dopo Leibniz”.

Egli era anche un uomo profondamente religioso e intriso di una personalissima forma di misticismo, potremmo dire. Infatti, quando inventò l’aritmetica binaria, egli percepì in questa “l’immagine della Creazione. Immaginò cioè che l’Unità rappresentasse Dio e lo Zero il vuoto; e che l’Essere Supremo avesse creato tutti gli esseri viventi partendo dal vuoto, proprio come lo zero e l’uno esprimono tutti i numeri nel sistema [binario]”. Così un altro grande matematico, Pierre Simon Laplace, descrisse l’entusiasmo di Leibniz nei confronti di questa scoperta, entusiasmo che non fu condiviso dai suoi colleghi matematici, poiché ai tempi tale sistema non sembrava fornire alcun vantaggio, se non estrema semplicità ed eleganza.

Questa storia, come molte altre vicende simili nella storia della matematica, ha una morale: spesso avvengono scoperte che paiono non oltrepassare la pura bellezza formale (cosa che, a giudizio di chi scrive, in realtà sarebbe già sufficiente a giustificare una scoperta), ma che in realtà, con il tempo, si rivelano essere di enorme portata. Come si direbbe in termini poco scientifici, mai giudicare un libro dalla copertina.

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