Quando a scuola abbiamo imparato le quattro operazioni fondamentali, il comportamento del numero uno ci sembrava assai banale: era abbastanza ovvio, pensavamo, che un qualsiasi numero moltiplicato o diviso per uno desse il numero di partenza. Tuttavia queste semplici proprietà hanno avuto delle conseguenze interessanti nella storia dei numeri.

La prima idea di numero nasce infatti dalla distinzione tra uno e più di uno. Pensiamo al caso di un uomo primitivo, chiamiamolo Ötzi per semplicità, che si rapporta al mondo circostante: o vede un bisonte o ne vede più d’uno, o vede un albero o ne vede tanti e così via. Potremmo dire che, all’inizio, il nostro uomo faccia uso di due sole categorie (uno e più d’uno).

Ora però supponiamo che a Ötzi serva, per qualche ragione, specificare i concetti di “più d’uno” e “tanti”: ad esempio, egli ha davanti due lupi. Ötzi potrebbe quindi pensare a degli oggetti a lui più familiari che siano tanti quanti i lupi: potrebbe dire che ci sono tanti lupi quante le corna di una gazzella.

Questo sistema non gli appare poi così male: alle corna di una gazzella si possono far seguire le foglie di un trifoglio, le zampe degli animali, le dita di una mano. Ma Ötzi si rende conto che non è così semplice trovare in natura un esempio di insieme con sei elementi: ha quindi l’idea di aggiungere un dito dell’altra mano. E così via. L’uomo primitivo ha appreso a contare.

Ma cosa abbiamo scoperto grazie a Ötzi? Semplicemente, il fatto che è possibile rappresentare, attraverso la nozione di uno, l’insieme infinito dei numeri naturali:

1

1+1

1+1+1

1+1+1+1

L’uno ha sempre avuto un ruolo privilegiato proprio per il fatto di essere in grado di rappresentare tutti gli altri numeri naturali mediante addizioni successive di se stesso.

I greci, per questo motivo, si trovarono alquanto in imbarazzo a definirlo, proprio perché attraverso di lui definivano tutti gli altri numeri: poteva il creatore di tutti i numeri essere un numero? Al massimo, secondo i greci, si poteva dire che l’uno fosse l’origine, il principio generatore dei numeri.

Durante il Medioevo, mentre la matematica decadeva e prendeva piede il misticismo, il numero uno rappresentava Dio, il Creatore; gli altri numeri erano considerati tanto più imperfetti quanto più si allontanavano da uno: ad esempio, il due era il numero del Peccato, essendo il primo numero ad distaccarsi dalla perfezione dell’uno.

In ogni caso, matematici o mistici che fossero gli scopi, si erano nel frattempo individuate peculiarità assai rilevanti di questo numero:

Uno è il numero che divide ogni altro numero.

Uno è l’unico numero che non può essere diviso da nessun altro numero.

Rispetto a queste due proprietà, in un caso l’uno poteva essere messo in relazione con tutti i numeri, nell’altro con nessuno. Questo fatto curioso non piacque ai matematici, che tentarono di elaborare classificazioni dei numeri alternative che potessero in qualche modo far emergere altre caratteristiche salienti. La più rudimentale ed istintiva è la divisione in pari e dispari, che tutti noi impariamo fin da piccoli.

Una classificazione più raffinata e di enorme portata per lo sviluppo della Teoria dei Numeri è la divisione tra numeri primi, che hanno fra i propri divisori solo uno e se stessi, e numeri composti, ovvero che hanno altri numeri come divisori oltre a uno e se stessi. Banalmente, due, tre, cinque sono numeri primi; quattro non è primo poiché è divisibile per uno, quattro ma anche per due.

Come prima Ötzi scoprì che ogni numero può essere espresso in maniera unica dalle addizioni successive dell’unità, così si comprese che è anche possibile rappresentarli in maniera unica come prodotto di numeri primi, procedimento noto come scomposizione in fattori primi. Qualche esempio per chiarirci:

4 = 1+1+1+1 = 2×2

6 = 1+1+1+1+1+1= 2×3

10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 2×5

La cosa più importante di quanto detto sopra sta nella specificazione “in maniera unica”: abbiamo trovato già due modi (e ne esistono molti altri) per rappresentare i numeri senza rischiare confusione, dato che ogni rappresentazione è una specie di carta di identità personalissima del singolo numero. Questa osservazione è così importante da meritare il nome altisonante di teorema fondamentale dell’aritmetica ed è uno dei pilastri sui quali poggiano la storia e lo studio dei numeri.

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