Noi arabi inventammo questi numeri: il sistema decimale. Ma la nostra più grande invenzione fu syfr. Syfr, che divenne zephirus e poi zero. Noi inventammo il numero che indica il vuoto, il nulla. Un numero pauroso, nel cui segno circolare la mente si può smarrire

Stefano Benni, Terra!

Zero è un numero che fu protagonista di interessanti paradossi, fin dall’origine della matematica: per quanto sia la prima tra le cifre decimali, è stata l’ultima a essere inventata; inoltre è stato effettivamente compreso come numero solo in un periodo relativamente recente. Tali eventi, l’invenzione e la comprensione, verificatisi in ritardo nella storia dei numeri, non sono ovviamente avvenuti nello stesso momento: nel caso dello zero, la sua invenzione ha di molto preceduto la sua effettiva comprensione come ente matematico.

Tutti i popoli antichi si sono storicamente confrontati col problema della rappresentazione dei numeri mediante simboli: gli egiziani usavano degli appositi geroglifici, i greci le lettere dell’alfabeto, i romani simboli quali I, V, X, L, C combinati fra loro. Ma una cosa è la teoria, un’altra è la pratica: assunta una simbologia più o meno efficace, era necessario essere in grado di svolgere le operazioni aritmetiche. Il problema non era da poco: per convincersene, consiglio di provare a fare una moltiplicazione utilizzando i caratteri romani.

Non sorprende dunque che tutte le popolazioni sopracitate facessero ampio utilizzo delle cosiddette tavolette di calcolo o abachi: era un sistema di calcolo abbastanza rudimentale, ma di grande efficacia. Gli abachi erano costituiti da tavolette, generalmente di legno, divise in colonne che rappresentavano le unità, le decine, le centinaia e così via. Per contare si disponevano dei sassolini nelle varie colonne, i quali indicavano il numero di volte che una certa potenza di dieci si presentava nel totale.

Quindi il numero che i romani scrivevano come CCCXXVII, ovvero 327, era rappresentato sull’abaco con tre sassolini sulla colonna delle centinaia, due sassolini sulla colonna delle decine, e sette sulla colonna delle unità.

Nella notazione adottata nell’abaco, lo zero era indicato semplicemente lasciando la colonna vuota: ciò giustifica in parte il fatto che, per migliaia di anni, nessuno abbia utilizzato alcun simbolo per indicarlo.

Un fatto assai degno di nota è che lo zero sia passato inosservato persino fra i grandi matematici greci, Pitagora, Euclide, Archimede. Come osservò J. E. Littlewood, grande teorico dei numeri britannico del Novecento: “I greci non sono studenti brillanti o candidati a una borsa di studio. Sono colleghi di un’altra università”. Furono il primo popolo a occuparsi dei numeri considerandoli interessanti di per sé e lasciarono ai posteri alcune questioni di Teoria dei Numeri che restano tutt’ora insolute: di fatto la ricerca matematica (in particolare in ambito geometrico e algebrico) durante il Medioevo e parte del Rinascimento si sarebbe dedicata a problematiche riconducibili direttamente alla riflessione greca.

Ma allora perché lo zero sfuggì loro? Ciò presumibilmente accadde perché i greci indagavano i numeri attraverso la lente della geometria: erano cioè interessati ai numeri in quanto enti in grado di quantificare le relazioni geometriche. Inoltre bisogna ammettere che in Teoria dei Numeri lo zero non è così strettamente indispensabile, mentre si rivela tale per i procedimenti di calcolo. I matematici greci però, rapiti dal fascino dei numeri in quanto tali, consideravano il calcolo un’attività da schiavi e pertanto ad essi relegata.

Lo zero come noi lo conosciamo giunse dall’India, attorno ai primi secoli dopo Cristo, attraverso la mediazione del mondo arabo: era indicato con un puntino, sunya (in sanscrito, “vuoto”), stante ad indicare appunto la colonna vuota sull’abaco e che gli indiani utilizzano tutt’oggi per indicare l’incognita di un’equazione, laddove noi occidentali usiamo la x. La notazione moderna dello zero deriva, invece, dalla lettera greca omicron. Ma sia chiaro: sunya era ancora un simbolo.

La comprensione profonda di cosa sia il numero zero, avvenne solo con i notevoli progressi dell’algebra nell’Ottocento, in particolare con la Teoria degli Insiemi (1874-1884) del tedesco Georg Cantor. Intuitivamente, un insieme è una collezione di oggetti. Per quanto possa sembrare vaga o banale, tale definizione è quella utilizzata correntemente in matematica.

Detto ciò, è abbastanza naturale identificare il numero uno, come concetto astratto, con un insieme contenente un solo elemento, di qualunque natura esso sia. Analogamente per gli altri numeri. E lo zero? Lo zero corrisponde a un insieme che non contiene niente, o secondo la terminologia matematica, all’insieme vuoto.

Tali considerazioni, intuitive all’apparenza, mostrarono ai matematici un fatto assai curioso: per millenni l’uomo aveva indagato e utilizzato i numeri, ma solo ora comprendeva pienamente gli enti coi quali aveva lavorato. Inoltre, venne inaugurato uno dei più affascinanti capitoli della matematica contemporanea: l’Algebra astratta. I numeri sono insiemi, come abbiamo detto sopra, e tali insiemi possono avere strutture anche molto complesse ed esse sono l’oggetto di studio di questa branca della matematica.

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